Question

（2013?平谷区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的

（2013?平谷区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD=8，求AF的长．

Answer 1

证明：（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：
连接OD，
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，
∴

CD

=

BD

，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线．
（2）连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在直角△ABD中，BD=

AB2?AD2

=6，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
又∵∠AFC=∠BFD，
∴∠FBD=∠CAD=∠BAD，
∴△FBD∽△BAD，
∴

FD

BD

=

BD

AD

，即

FD

6

=

6

8

，
解得：FD=

9

2

，
∴AF=AD-DF=

7

2

．