Question

数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）证明数列{an}是等比数

数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）证明数列{an}是等比数列，写出数列{an}的通项公式；（Ⅲ）求数列{nan}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）；
∴a₂=2s₁+1=2a₁+1=2×1+1=3，
∴s₂=a₁+a₂=1+3=4，
∴a₃=2s₂+1=2×4+1=9．
（Ⅱ）∵a_n+1=2S_n+1①，
∴a_n=2S_n-1+1②，
①-②得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n；
∴

an+1

an

＝3，
∴数列{a_n}是公比为q=3的等比数列；
∴通项公式an＝1×3n?1＝3n?1．
（Ⅲ）∵an＝1×3n?1＝3n?1，
∴T_n=na_n=1?3⁰+2?3¹+3?3²+…+（n-1）?3^n-2+n?3^n-1①
于是，3T_n=1?3¹+2?3²+3?3³+…+（n-1）3^n-1+n?3ⁿ②
①-②得：?2Tn＝1+3+32+…+3n?1?n?3n＝

1×(1?3n)

1?3

?n?3n
∴前n项和Tn＝

1

4

[(2n?1)×3n+1]．