Question

已知数列{an}对任意的正整数n都有an-2an+1=0，a1=2，数列{bn}满足对任意正整数n，bn是an和an+1的等差中项

已知数列{an}对任意的正整数n都有an-2an+1=0，a1=2，数列{bn}满足对任意正整数n，bn是an和an+1的等差中项，则数列{bn}的前10项和为______．

Answer 1

∵数列{a_n}对任意的正整数n都有a_n-2a_n+1=0，a₁=2，
故

an+1

an

=

1

2

，故数列{a_n}是以2为首项、以

1

2

为公比的等比数列．
∴a_n =2×(

1

2

)n?1=

4

2n

．
b_n是a_n和a_n+1的等差中项，故 b_n =

an+an+1

2

=

2

2n

+

2

2n+1

=

6

2n+1

．
则数列{b_n}的前10项和为

b1(1?q10)

1?q

=

6 4 (1? 1 210 )

1? 1 2

=

3069

1024

，
故答案为

3069

1024

．