Question

如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，若AB=AC．（1）求证：DE平分

如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，若AB=AC．（1）求证：DE平分∠CDF．（2）求证：AB2=AD?AE．

Answer 1

解答：证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠EDC=∠ABC，
∵∠ADB=∠ACB，∠ADB=∠FDE，
∴∠FDE=∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠EDC，
即DE平分∠CDF；

（2）∵∠EDC+∠ADC=180°，∠ECA+∠ACB=180°，∠ACB=∠EDC，
∴∠ADC=∠ACE，
又∵∠BAC=∠CAD，
∴△ADC∽△ACE，
∴

AD

AC

=

AC

AE

，
∴AC²=AD×AE，
∵AB=AC，
∴AB²=AD?AE．