Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点M、N是AB上任意两点，且∠MCN=45°，点T为AB的中点．以下

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点M、N是AB上任意两点，且∠MCN=45°，点T为AB的中点．以下结论：①AB=2AC；②CM2+TN2=NC2+MT2；③AM2+BN2=MN2；④S△CAM+S△CBN=S△CMN．其中正确结论的序号是（　　）A．①②③④B．只有①②③C．只有①③④D．只有②④

Answer 1

解答：解：①∵△ABC是等腰三角形，∴AB=

2

AC，故①正确；
②连接CT；
由勾股定理得：CM²-MT²=CT²，NC²-NT²=CT²，
联立两式可得：CM²-MT²=NC²-NT²，即CM²+TN²=NC²+MT²；
故②正确；
③如图，过C作∠NCD=∠BCN，且CD=CB=AC，连接DM、DN；
∵∠DCN=∠BCN，CD=BC，CN=CN，
∴△DCN≌△BCN，得BN=DN，∠NDC=∠B=45°；
∵∠MCN=45°，∠ACB=90°，
∴∠ACM=∠DCM=45°-∠BCN=45°-∠DCN，
又∵AC=DC，CM=CM，
∴△ACM≌△DCM，得DM=AM，∠MDC=∠A=45°；
∴∠MDN=45°+∠45°=90°，
在Rt△MDN中，由勾股定理得：DM²+DN²=MN²，即AM²+BN²=MN²，
故③正确；
④S_△ACM=

1

2

AM?CT，S_△BNC=

1

2

BN?CT，S_△MNC=

1

2

MN?CT，
∵AM+BN≠MN，∴S_△ACM+S_△BCN≠S_△MNC，
故④错误；
因此正确的结论是①②③，故选B．