Question

在直角坐标平面内，我们定义A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的“直角距离”为D（AB）=|x1-x2|+|y1-y2|．

在直角坐标平面内，我们定义A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的“直角距离”为D（AB）=|x1-x2|+|y1-y2|．（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的直角距离为2的“格点”的坐标（“格点”指的是横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点F1、F2的“直角距离”之和为定值2a（a＞0）的动点的轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹；（在以下三个条件中任选一个作答，多做不计分，其中选择条件①，满分3分；选择条件②，满分4分；选择③满分6分）①F1（-1，0）、F2（1，0）、a=2；②F1（-1，-1）、F2（1，1）、a=2③F1（-1，-1）、F2（1，1）、a=4；（3）（理科）写出同时满足以下两个条件的所有格点的坐标，并说明理由；（文科）写出同时满足以下两个条件的所有格点的坐标，不必说明理由；①到A（-1，-1）、B（1，1）两点的“直角距离”相等；②到C（-2，-2）、D（2，2）两点的“直角距离”之和最小．

Answer 1

解答：解：（1）设点P（x，y），则有新定义可得，|x|+|y|=2，
则满足条件的格点的坐标为（0，2），（0，-2），（1，1），
（1，-1），（-1，1），（-1，-1），（2，0），（-2，0）；
（2）①动点的轨迹方程为|x+1|+|x-1|+2|y|=4，如图1所示轨迹为六边形．
②|x+1|+|x-1|+|y-1|+|y+1|=4，如图2所示轨迹为正方形及内部．
③|x+1|+|x-1|+|y-1|+|y+1|=8，如图3所示轨迹是八边形．
（3）设满足条件的格点的坐标为（x，y），
则由①，得|x+1|+|y+1|=|x-1|+|y-1|，当x≥1，y≥1，x+y+2=x+y-2不成立；
当x≤-1，y≤-1，方程也不成立；当x≥1，y≤-1，x+1-y-1=x-1+1-y成立；
当x≤-1，y≥1，也成立；当x≥1，-1＜y＜1，x+1+y+1=x-1+1-y，则y=-1；
当x≤-1，-1＜y＜1，则y=1；当-1＜x＜1，y≥1，x+1+y+1=1-x+y+1，则x=0；
当-1＜x＜1，y≤-1，x+1-y-1=1-x+1-y，则x=1；当-1＜x＜1，-1＜y＜1，
x+1+y+1=1-x+1-y，则x+y=0．
由②得，到C（-2，-2）、D（2，2）两点的“
直角距离”之和d=|x+2|+|x-2|+|y+2|+|y-2|≥
|（2+x）+（2-x）|+|（2+y）+（2-y）|
=4+4=8，当且仅当-2≤x≤2且-2≤y≤2，取得最小值8．
综合上面，可得格点为（2，-1），（2，-2），（1，-1），（1，-2），（0，0），（-1，2），（-1，1），（-2，2），（-2，1）．