Question

数列{an}满足：a1=6，an+1=a 2n+4an+2，（n∈N*）（Ⅰ）设Cn=log2（an+2），求证：{Cn}是等比数列；（Ⅱ

数列{an}满足：a1=6，an+1=a 2n+4an+2，（n∈N*）（Ⅰ）设Cn=log2（an+2），求证：{Cn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设bn=1an?2-1a2n+4an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：730≤Tn＜1．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由a_n+1=a

2 n

+4a_n+2，得an+1+2＝(an+2)2，
∴log₂（a_n+1+2）=2log₂（a_n+2），
∵C_n=log₂（a_n+2），
即C_n+1=2C_n，
∴数列{C_n}是以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：∵a₁=6，
∴C₁=log₂（a₁+2）=log₂8=3，
则Cn＝3?2n?1，即an+2＝23?2n?1，
∴an＝23?2n?1?2；
（Ⅲ）证明：把an＝23?2n?1?2代入b_n=

1

an?2

-

1

a 2 n +4an

，
得：bn＝

1

an?2

?

1

an+1?2

，
则Tn＝(

1

a1?2

?

1

a2?2

)+(

1

a2?2

?

1

a3?2

)+…+(

1

an?2

?

1

an+1?2

)
=

1

a1?2

?

1

an+1?2

＝

1

4

?

1

23?2n?4

．
∴

7

30

≤Tn＜

1

4

．