Question

已知函数f（x）=lnx-x2+x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在区间（0，a]上的最大

已知函数f（x）=lnx-x2+x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在区间（0，a]上的最大值；（III）设函数g（x）=x3-（1+2e）x2+（m+1）x+2，（m∈R），试讨论函数f（x）与g（x）图象交点的个数．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x²+x+2，其定义域为（0，+∞）．（1分）
∴f′(x)＝

?(2x+1)(x?1)

x

．（2分）
∵x＞0，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）；单调递减区间是（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）的单调递增区间是（0，1）；单调递减区间是（1，+∞）．
当0＜a≤1时，f（x）在区间（0，a]上单调递增，f（x）的最大值f（x）_max=f（a）=lna-a²+a+2；
当a＞1时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，则f（x）在x=1处取得极大值，也即该函数在（0，a]上的最大值，此时f（x）的最大值f（x）_max=f（1）=2；
∴f（x）在区间（0，a]上的最大值f(x)＝

lna?a2+a+2，0＜a≤1 2，a＞1

…（8分）
（Ⅲ）讨论函数f（x）与g（x）图象交点的个数，即讨论方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的个数．
该方程为lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx．
只需讨论方程

lnx

x

＝x2?2ex+m在（0，+∞）上根的个数，…（9分）
令u（x）=

lnx

x

（x＞0），v（x）=x²-2ex+m．
因u（x）=

lnx

x

（x＞0），u′（x）=

1?lnx

x2

，令u′（x）=0，得x=e，
当x＞e时，u′（x）＜0；当0＜x＜e时，u′（x）＞0，∴u（x）_max=u（e）=

1

e

，
当x→0⁺时，u（x）=

lnx

x

→-∞； 当x→+∞时，

lnx

x

→0，但此时u（x）＞0，且以x轴为渐近线．
如图构造u（x）=

lnx

x

的图象，并作出函数v（x）=x²-2ex+m的图象．
①当m-e²＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

时，方程无根，没有公共点；
②当m?e2＝

1

e

，即m＝e2+

1

e

时，方程只有一个根，有一个公共点；
③当m?e2＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

时，方程有两个根，有两个公共点．…（12分）