Question

高二数学导数题

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的导数为f'(x)，f'(0)>0对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)/f'(0)的最小值为？
请写下过程
顺带问一下y=cosx/tanx的导数是什么，我觉得答案写的貌似错了

Answer 1

f'(x)=2ax+b
f'(0)=b>0
∵f(x)=ax^2+bx+c≥0
∴a>0且Δ=b^2-4ac≤0
f(1)/f'(0)
=a+b+c
=1+(a+c)/b
≥1+2(√ac)/b
≥1+2(b/2)/b
=2

y=cosx/tanx
y'=[-sinxtanx-cosx*1/(cosx)^2]/(tanx)^2
=[-cosx(sinx)^2-cosx]/(sinx)^2
=-cosx[1+(sinx)^2]/(sinx)^2

追问

把tanx化成正余弦的商再做答案不是这个，这是为什么？我们没学tanx的求导公式

追答

化成正余弦导答案是一样的，可能你的答案和这个等价吧，整理一下试试，不等价的话就是你推导错了。分式的导数法则是，上导乘下减去上乘下导，然后再除以下的平方
tanx的导数，记住就好是1/(cosx)^2
y'=cosx/tanx
=cosx/(sinx/cosx)
=(cosx)^2/sinx
=[2cosx(-sinx)sinx-(cosx)^2cosx]/(sinx)^2
=[-2cosx(sinx)^2-cosx(cosx)^2]/(sinx)^2
=-[cosx(sinx)^2+cosx(sinx)^2+cosx(cosx)^2]/(sinx)^2
=-[cosx(sinx)^2+cosx]/(sinx)^2
=-cosx[1+(sinx)^2]/(sinx)^2

追问

我化出个三次方，中间没有用乘积=1，能否留下QQ，以后有不少数学问题可以请教

Answer 2

解：由题意对任意实数x有f(x)≥0得
判别式Δ=b^2-4ac≤0,a≥(b^2)/4c
f(1)=a+b+c,f'(0)=b
∴f(1)/f(0)=（a+b+c）/b
=a/b+c/b+1（∵a≥(b^2)/4c）
≥b/4c+c/b+1
≥2√（b/4c*c/b）+1=2
当且仅当 b/4c=c/b ，b^2=4ac时， f(1)/f'(0)的最小值为2

Answer 3

解：
f'(x)=2ax+b;
f'(0)=b>0;
f(x)=a(x+b/2a)^2+c-b^2/(4a)≥0;也就是c-b^2/(4a)≥0;即4ac≥b^2;
因为(a-c)^2≥0，所以(a+c)^2≥4ac≥b^2;
f(1)/f'(0)=(a+b+c)/b=(a+c)/b+1≥b/b+1=2.
故最小值为2

Answer 4

f'(x)=2ax+b f'(0)=b>0 对于x∈R，恒有f(x)≥0，故a>0 ⊿=b²-4ac≤0 b²≤4ac 显然c>0，故2√ac≤a+c 4ac≤(a+c)² b²≤(a+c)² b≤(a+c) f(1)/f'(0)=(a+b+c)/b=[(a+c)/b]+1≥2 最小值为2