Question

一个函数对于x求偏导，得数为±1，那么对于x的偏导是不存在吗？

求偏导数是要求最后结果是唯一值吗？一个函数在某一点的偏导数是否存在，是对x和对y都要存在还是说只要其中之一存在就可以？

Answer 1

对于一个函数，要想某一点的导数存在，必须左边的导数等于右边的导数
例如羊角函数y=｜x｜，在x=0处的左边导数是-1，右边导数是1，左右导数不相等，所以该函数在x=0处不可导，其他位置可导。
求偏导也是一样的思想，在二元函数中，每一个y值对应着一个关于x的函数，不同y值的情况下，x的偏导也不一样，所以x的偏导往往是一个关于y的函数。例如z=x｜y｜，关于x的偏导是｜y｜，关于y的偏导则需要分情况讨论了，在y<0时为-x，在y=0时不存在，在y>0时为x。
如果是二元函数可微必须保证在某点的邻域内x和y的偏导数存在且连续

追问

就是说一个二元函数可偏导，那么对于x和y的偏导必须存在且相等对吗？

追答

你想问的是二元函数是否可微吧，一般没有二元函数可偏导这个说法，只有对x的偏导这种说法。
证明二元函数在某点上是否可微，首先函数对x和y的偏导都存在，再用全微分的定义来证明是否可微，上图是全微分的定义。

定义的用法就是用下面这个式子算，结果为0（对应定义中的高阶无穷小量)，则是可微的，否则不可微

Answer 2

请用具体题目提问。函数不是 正负两种 ，对 x 求偏导，得数为 ±1 ？

追问

简单来说，我问的是判断一个函数的偏导性时，是不是对x和y的偏导要分别而存在且相等，函数的偏导才存在。

追答

应该是：
对 x 的左右偏导数存在且相等， 则对 x 偏导数存在；
对 y 的左右偏导数存在且相等， 则对 y 偏导数存在。
二者独立的吧。