Question

已知a，b为正整数，且满足 a+b a 2 +ab+ b 2 = 4 49 ，求a+b的值

已知a，b为正整数，且满足 a+b a 2 +ab+ b 2 = 4 49 ，求a+b的值．

Answer 1

由49（a+b）=4（a 2 +ab+b 2 ）及a，b都是正整数， 故存在正整数k，使a+b=4k① 从而a 2 +ab+b 2 =49k， 即（a+b） 2 -ab=49k，故ab=16k 2 -49k② 从而a，b是关于x的方程 x 2 -4kx+（16k 2 -49k）=0③（此也可视作把①代入②，整理成关于a的类似③的方程） 得两个正整数根． 由△=16k 2 -4（16k 2 -49k）≥0， 得0≤k≤ 49 12 ， ∵k为正整数∴k=1，2，3，4．容易验证， 当k=1，2，3时，方程③均无正整数根； 当k=4时，方程③为x 2 -16x+60=0， 解得x 1 =10，x 2 =6． 故a+b=4k=16．