Question

已知函数f(x)＝a x ＋x 2 －xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

已知函数f(x)＝a x ＋x 2 －xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；(3)若存在x 1 、x 2 ∈[－1，1]，使得|f(x 1 )－f(x 2 )|≥e－1，试求a的取值范围．

Answer 1

（1）见解析（2）t＝2（3） ∪[e，＋∞)

审题引导：本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1 、x 2 ∈[－1，1]，使得|f(x 1 )－f(x 2 )|≥e－1”转化成|f(x) max －f(x) min |＝f(x) max －f(x) min ≥e－1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负． 规范(1)证明：f′(x)＝a x lna＋2x－lna＝2x＋(a x －1)·lna.(2分) 由于a>1，故当x∈(0，＋∞)时，lna>0，a x －1>0，所以f′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分) (2)解：当a>0，a≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x＝0.(6分)所以x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ? 极小值 ? 又函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t±1有三个根，而t＋1>t－1，所以t－1＝f(x) min ＝f(0)＝1，解得t＝2.(10分) (3)解：因为存在x 1 、x 2 ∈[－1，1]，使得|f(x 1 )－f(x 2 )|≥e－1，所以当x∈[－1，1]时，|f(x) max －f(x) min |＝f(x) max －f(x) min ≥e－1.(12分) 由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[－1，1]时，f(x) min ＝f(0)＝1，f(x) max ＝max{f(－1)，f(1)}． 而f(1)－f(－1)＝(a＋1－lna)－ ＝a－ －2lna， 记g(t)＝t－ －2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋ － ＝ ≥0(当且仅当t＝1时取等号)， 所以g(t)＝t－ －2lnt在t∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0， 所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0， 也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e－1?a－lna≥e－1?a≥e， ②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e－1? ＋lna≥e－1?0＜a≤ ， 综上知，所求a的取值范围为 ∪[e，＋∞)．(16分)