Question

如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度

如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　）A．2B．125C．52D．22

Answer 1

线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，
如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，

∵圆F与AB相切，∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，
且S_△ABC=

1

2

BC?CA=

1

2

CD?AB，
∴CD=

BC?AC

AB

=

12

5

．
故选B