Question

如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证(1)DE=DA

(2)平面BDM⊥平面ECA(3)平面DEA⊥平面ECA

Answer 1

证明：（1）如图，取EC中点F，连接DF．

∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC．

∴DB⊥AB，EC⊥BC．

∵BD∥CE，BD= 1/2CE=FC，则四边形FCBD是矩形，

∴DF⊥EC．

又BA=BC=DF，

∴Rt△DEF≌Rt△ABD，所以DE=DA．

（2）取AC中点N，连接MN、NB，∵N是EA的中点，

∴MN= 1/2EC．由BD= 1/2EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形

MNBD是矩形，于是DN∥BM．

∵DE=DA，N是EA的中点，∴DN⊥EA．又EA∩MN=M，

∴DN⊥平面ECA，而DN⊂平面BDM，则平面ECA⊥平面BDM．

（3）∵DN⊥平面ECA，DN⊂平面DEA，

∴平面DEA⊥平面ECA．