Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＜DC，若腰DC上有一点P，使AP⊥BP,则这样的点有（ ）个.

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＜DC，若腰DC上有一点P，使AP⊥BP,则这样的点有（ ）个.对于这个问题我就是不明白为什么当AD+BC＜DC时，一AB为直径的圆会与CD相交.当AD+BC=DC时，一AB为直径的圆会与CD相切.当AD+BC＞DC时，一AB为直径的圆会与CD相离.请高手帮忙推理证明一下，谢谢.

Answer 1

为了更好地说明你所提出的问题，现在先分析圆与CD相切的情况。
∵AP⊥BP，∴P在以AB为直径的圆上，令圆心为O。
∵CD切⊙O于点P，∴OP⊥CD，∴P是CD上离点O最近的点。
∵AD∥BC、∠B＝90°，∴∠A＝90°，∴AD切⊙O于点A、BC切⊙O于点B，
∴由切线长定理，有：AD＝DP、BC＝CP，∴AD＋BC＝DP＋CP＝DC。
∴当AD＋BC＝DC时，⊙O与CD相切。

于是：
　　当AD＋BC＜DC时，可理解为将DC由与⊙O相切时的位置向圆心方向平移，这样，⊙O与DC自然就相交了。
　　当AD＋BC＞DC时，可理解为将DC由与⊙O相切时的位置背圆心方向平移，这样，⊙O与DC自然就相离了。