Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线方程是√5x－2y＝0

(1)求双曲线的方程
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为(81/2),求k的取值范围
求具体步骤,回答给十分,骗你们我死全家

Answer 1

解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）．
由题设得 {a2+b2=9ba=52，解得 {a2=4b2=5，所以双曲线方程为 x24-y25=1．
（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．
点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组 {y=kx+mx24-y25=1
将①式代入②式，得 x24-(kx+m)25=1，整理得（5-4k2）x2-8kmx-4m2-20=0．
此方程有两个一等实根，于是5-4k2≠0，且△=（-8km）2+4（5-4k2）（4m2+20）＞0．整理得m2+5-4k2＞0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足 x0=x1+x22=4km5-4k2， y0=kx0+m=5m5-4k2．
从而线段MN的垂直平分线方程为 y-5m5-4k2=-1k(x-4km5-4k2)．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 (9km5-4k2，0)， (0，9m5-4k2)．
由题设可得 12|9km5-4k2|•|9m5-4k2|=812．
整理得 m2=(5-4k2)2|k|，k≠0．
将上式代入③式得 (5-4k2)2|k|+5-4k2＞0，整理得（4k2-5）（4k2-|k|-5）＞0，k≠0．
解得 0＜|k|＜52或 |k|＞54．
所以k的取值范围是 (-∞，-54)∪(-52，0)∪(0，52)∪(54，+∞)．

Answer 2

解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）．
由题设得 {a2+b2=9ba=52，解得 {a2=4b2=5，所以双曲线方程为 x24-y25=1．
（Ⅱ）解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．
点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组 {y=kx+mx24-y25=1
将①式代入②式，得 x24-(kx+m)25=1，整理得（5-4k2）x2-8kmx-4m2-20=0．
此方程有两个一等实根，于是5-4k2≠0，且△=（-8km）2+4（5-4k2）（4m2+20）＞0．整理得m2+5-4k2＞0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足 x0=x1+x22=4km5-4k2， y0=kx0+m=5m5-4k2．
从而线段MN的垂直平分线方程为 y-5m5-4k2=-1k(x-4km5-4k2)．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 (9km5-4k2，0)， (0，9m5-4k2)．
由题设可得 12|9km5-4k2|•|9m5-4k2|=812．
整理得 m2=(5-4k2)2|k|，k≠0．
将上式代入③式得 (5-4k2)2|k|+5-4k2＞0，整理得（4k2-5）（4k2-|k|-5）＞0，k≠0．
解得 0＜|k|＜52或 |k|＞54．
所以k的取值范围是 (-∞，-54)∪(-52，0)∪(0，52)∪(54，+∞)．