Question

关于x的方程x^2+ax+2b=0的两根中，一个在区间（0,1），另一个在区间（1,2）内，

则（a-1）^2+（b-2）^2的取值范围是？

Answer 1

设f(x)=x^2+ax+2b，则f(0)=2b>0，f(1)=1+a+2b<0，f(2)=4+2a+2b>0
设(a-1)^2+(b-2)^2=R^2。
在平面aOb中，用线性规划方法求R^2的取值范围是：(29/4,+无穷)

追问

我也用了这个方法，不过真的可以取到无穷？你把方程的解表示出来，，可以发现应该是取不到无穷的吧

追答

刚才我做错了，区域在第二象限，8<R^2<17

Answer 2

设解为v和u，
则-(u+v)=a, b=uv/2

因此（a-1）^2+（b-2）^2
=[-(u+v)-1]^2+(uv/2-2)^2
=5+U^2+V^2+2(U+V)+(UV)^2/4
因此范围为
5+(0,5)+(0,10)+(0,2)/4=(5,20.5)

追问

因此范围为
5+(0,5)+(0,10)+(0,2)/4=(5,20.5)这是怎么计算的啊？我算的是（8,17），谢谢你了！

Answer 3

根据韦达定理 x1+x2=-a x1*x2=2b
（a-1）^2+（b-2）^2
=(x1+x2+1)^2+[(x1*x2)/2-2]^2
0<x1<1, 1<x2<2
2<x1+x2+1<4 -2<(x1*x2)/2-2<-1
4<(x1+x2+1)^2<16 1<[(x1*x2)/2-2]^2<4
5<(x1+x2+1)^2+[(x1*x2)/2-2]^2<20