Question

已知数列an中，a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1-an（1）证明bn是等比数列（2）设数列nan的前n项和为sn，

求使sn+n（n+1）/2》120成立的正整数n的最小值

Answer 1

1.
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)
[a(n+1)+1]/(an+1)=2，为定值。
a1=1 a1+1=1+1=2
数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列。
an+1=2ⁿ
an=2ⁿ-1
bn=a(n+1)-an=2^(n+1)-1-2ⁿ+1=2ⁿ
b1=2 bn/b(n-1)=2
数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列。
2.
Sn=1×a1+2×a2+...+nan
=1×2+2×2²+...+n×2ⁿ
2Sn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
-Sn=Sn-2Sn
=2+2²+2³+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
=2(2ⁿ-1)/(2-1)-n×2^(n+1)
=2^(n+1)-2-n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1)-2
Sn=2+(n-1)×2^(n+1)
Sn+n(n+1)/2>120
2+(n-1)×2^(n+1)+n(n+1)/2>120
n≥5
满足不等式成立的正整数n的最小值是5。

Answer 2

表示我看不懂。。。