Question

已知函数ƒ（X）=ax^3-3x+1对于任意x∈[-1,1]总有ƒ（x)≥0成立，求实数a的值。

Answer 1

由f(1)≥0得：a≥2
f'(x)=3ax²-3
判别式△=36a>0
令f'(x)=0，得两个极值点：x1=-1/√a，x2=1/√a
根据三次函数图像特征：
f(x)在(-∞，x1)和(x2，+∞)区间递增，(x1，x2)区间递减
由于x2=1/√a∈(0，1)，所以函数的极小值f(x2)需≥0
即：a*(1/√a)³-3/√a+1≥0
解得：a≥4
再由f(-1)≥0得：a≤4
所以：a=4

Answer 2

将x=-1,x=1代入函数式，可得出2<=a<=4

再根据导函数f'(x)=3ax^3-3分析
当f'(x)=0时，f(x)有极值（极大或极小）
由于a>0,所以f(x)函数图像是增-减-增
说明极大值在函数图像左侧，极小值在函数图像右侧
f'(x)=0
3ax^2-3=0
解之，得：
x1=-sqrt(a)/a
x2=sqrt(a)/a
即f(x2)为函数极小值
f(x2)=1-2sqrt(a)/a
若x2在区间[-1,1]内，且f(x2)>=0
则f(x)在区间[-1,1]一定大于等于0
sqrt(a)/a<=1
1-2sqrt(a)/a>=0
解之，得：a>=4
再根据2<=a<=4,得
a=4