Question

（1）设f（x）是定义在R上奇函数，且当x＞0时，f（x）=2 x -3，则当x＜0时，f（x）表达式为______．（2）

（1）设f（x）是定义在R上奇函数，且当x＞0时，f（x）=2 x -3，则当x＜0时，f（x）表达式为______．（2）设f（x）是定义在R上奇函数，且f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2 x -3，则x∈（3，4）时，f（x）表达式为______．

Answer 1

（1）设x＜0，则-x＞0， ∴f（-x）=2 -x -3， ∵f（x）为定义在R上的奇函数 ∴f（x）=-f（-x）=-2 -x -3=- ( 1 2 ) x +3 ， ∴当x＜0时，f（x）=- ( 1 2 ) x +3 ； （2）因为x∈（0，1）时，f（x）=2 x -3， 设x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）， ∴f（-x）=2 -x -3， ∵f（x）为定义在R上的奇函数 ∴f（x）=-f（-x）=-2 -x -3=- ( 1 2 ) x +3 ， ∴当x∈（0，1）时，f（x）=- ( 1 2 ) x +3 ； 所以x∈（3，4）时，x-4∈（-1，0）， ∴f（x-4）=- ( 1 2 ) x-4 +3 ； ∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）， ∴f（x）是以2为周期的周期函数， f（x-4）=f（x）=- ( 1 2 ) x-4 +3 ； ∴x∈（3，4）时，f（x）=- ( 1 2 ) x-4 +3 ； 故答案为：f（x）=- ( 1 2 ) x +3 ，f（x）=- ( 1 2 ) x-4 +3 ．