Question

（本小题满分8分）已知，在△ ABC 中，∠ BAC =90°， AB = AC ， BC = ，点 D 、E 在 BC 边上（均不与

（本小题满分8分）已知，在△ ABC 中，∠ BAC =90°， AB = AC ， BC = ，点 D 、E 在 BC 边上（均不与点 B 、 C 重合，点 D 始终在点 E 左侧），且∠ DAE ＝45°．小题1:（1）请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上 ， ；小题2:（2）设 BE ＝ m ， CD ＝ n ，求 m 与 n 的函数关系式，并写出自 变量 n 的取值范围；小题3:（3）如图②，当 BE ＝ CD 时，求 DE 的长；小题4:（4）求证：无论 BE 与 CD 是否相等 ， 都有 DE 2 = BD 2 + CE 2 .

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Answer 1

小题1:解：（1）△ ADE ∽△ BAE ，△ ADE ∽△ CDA ，△ BAE ∽△ CDA ；（写出任意两对即可） 小题2:（2）∵∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， BC ＝ ， 由（1）知△ BAE ∽△ CDA ， ∴ . ∴ . ∴  （ ） 小题3:（3）由（2）只 BE·CD ＝4， ∴ BE ＝ CD ＝2. ∴ BD ＝ BC － CD ＝ . ∴ DE ＝ BE － BD ＝ 小题4:（4）如图，依题意，可以将△ AEC 绕点 A 顺时针旋转90°至△ AFB 的位置， 则 FB ＝ CE ， AF ＝ AE ，∠1＝∠2， ∴∠ FBD ＝90°. ∴ . ……………6分 ∵∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝45°， ∴∠ FAD ＝∠ DAE . 又∵ AD ＝ AD ， AF ＝ AE ， ∴△ AFD ≌△ AED . ∴ DE ＝ DF . ………………………………………………………………………7分 ∴

略