Question

已知函数 在 与 时都取得极值．若对 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是( ) A． B． C．

已知函数 在 与 时都取得极值．若对 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是( ) A． B． C． D．

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Answer 1

C

选C 分析：求出f′（x），因为函数在 与x=1时都取得极值，所以得到f′（- ）=0，且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），根据函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立，只需求出最大值，然后令最大值＜2c，即可求出c的范围． 解；（1）f（x）=x 3 +ax 2 +bx+c，f’（x）=3x 2 +2ax+b 由 ，解得， ． 代回原函数得，f（x）=x 3 - x 2 -2x+c，f’（x）=3x 2 -x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表： x （-1，- 2 3 ） - 2 3 （- 2 3 ，1） 1 （1，2] f′（x） + 0 - 0 + f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数f（x）的递增区间是（-1，- ）和（1，2]，递减区间是（- ，1）． 当x=- 时，f（x）= +c为极大值，而f（2）=2+c，f（-1）= +c，所以f（2）=2+c为最大值． 要使f（x）＜2c，对x∈[-1，2]恒成立，须且只需2+c＜2c． 解得c＞2． 故选C．