如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A(-6,0)、B(0,-8)两点.(1)求
如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A(-6,0)、B(0,-8)两点.(1)求出直线AB的函数解析式;(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴...
如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A(-6,0)、B(0,-8)两点.(1)求出直线AB的函数解析式;(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在⊙M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;(3)设(2)中的抛物线交x轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得S△PDE=115S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
则
,
解得
,
所以直线AB的解析式y=-
x-8;
(2)设抛物线的方程y=ax2+bx+c,
∵A(-6,0)、B(0,-8),
∴AB=10,
∴⊙M的半径为5,
∴M(-3,-4),
∵由函数图象可知抛物线的顶点在圆上,函数图象的对称轴与y轴平行,
∴抛物线的顶点C(-3,1),
且因抛物线的点对称性有一点与B点关于抛物线的轴对称为F(-6,-8),
由三点代入抛物线方程的a=-1,b=-6,c=-8.
所以y=-x2-6x-8;
(3)连接AC,BC,
根据(2)得:B(0,-8),
直线BC的解析式为:y=-3x-8,
∴点K(-
,0),
∴AK=6-
=
,
∴S△ABC=S△AKC+S△ABK=
×
×1+
×
×8=15,
所以假设三角形PDE的面积为1,因为DE长为2,
所以P到DE的距离为1.
当y=1时,-x2-6x-8=1,解得x1=x2=-3,∴P1(-3,1);
当y=-1时,-x2-6x-8=-1,解得x1=-3+
,x2=-3-
则
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解得
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所以直线AB的解析式y=-
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(2)设抛物线的方程y=ax2+bx+c,
∵A(-6,0)、B(0,-8),
∴AB=10,
∴⊙M的半径为5,
∴M(-3,-4),
∵由函数图象可知抛物线的顶点在圆上,函数图象的对称轴与y轴平行,
∴抛物线的顶点C(-3,1),
且因抛物线的点对称性有一点与B点关于抛物线的轴对称为F(-6,-8),
由三点代入抛物线方程的a=-1,b=-6,c=-8.
所以y=-x2-6x-8;
(3)连接AC,BC,
根据(2)得:B(0,-8),
直线BC的解析式为:y=-3x-8,
∴点K(-
8 |
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∴AK=6-
8 |
3 |
10 |
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∴S△ABC=S△AKC+S△ABK=
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3 |
1 |
2 |
10 |
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所以假设三角形PDE的面积为1,因为DE长为2,
所以P到DE的距离为1.
当y=1时,-x2-6x-8=1,解得x1=x2=-3,∴P1(-3,1);
当y=-1时,-x2-6x-8=-1,解得x1=-3+
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