Question

如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积

如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：分别延长AD，BC交于点E，
由题意知，∠DCE=∠A=60°，
∴∠E=30°，
∴tan∠E=tan30°=

CD

DE

，
∴DE=CD÷tan30°=1÷

3

3

=

3

，
?BE=AB÷tan30°=2

3

，
四边形ABCD的面积=S_△ABE-S_△CED=

1

2

BE?AB-

1

2

CD?DE=2

3

-

3

2

=

3 3

2

．

Answer 2

连接AC,
设AC=m，设∠BAC=a，则∠DAC=60-a
cosa=2/m,
sin(60-a)=1/m
就是2sin(60-a)=cosa,
解出
(√3-1)cosa=sina
就是
tga=√3-1,
因为
tga=BC/2=√3-1,
所以
BC=2(√3-1)
△ABC的面积=2*BC/2=2(√3-1)
由tg(60-a)=(tg60-tga)/1+tg60tga=1/(4-√3)
可求出
DC/AD=tg(60-a)=1/(4-√3)
AD=DC(4-√3)=4-√3
△DAC的面积=AD*DC/2=(4-√3)/2
四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△DAC的面积
=2(√3-1)+(4-√3)/2=3(√3)/2