Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=2BC，E、F分别为CD、PB的中点．（1）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=2BC，E、F分别为CD、PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

证明：（1）取PA的中点G，连接DG，FG，
∵F为PB的中点，
∴FG∥CD且FG＝

1

2

CD
∵ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB=CD
∵E为CD的中点，
∴四边形EFGD为平行四边形
∴DG∥EF
∵AD=PD，G为PA的中点
∴DG⊥PA
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AB
∵AB⊥AD，PD∩AD=D
∴AB⊥平面PAD
∵DG?平面PAD，
∴AB⊥DG
∵PA∩AB=A
∴DG⊥平面PAB，
∵DG∥EF
∴EF⊥平面PAB
（2）由（1）知，EF=DG=

2

2

，且EF为以△PAF为底面的三棱锥E-PAF的高
∵PA=

2

，∴S△PAF＝

1

2

S△ABP=

1

2

∴V_P-AEF=V_E-PAF=

1

3

×

1

2

×

2

2

=

2

12

．