Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足条件f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列命题，其中正确

已知定义在R上的偶函数f（x）满足条件f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列命题，其中正确的是______（1）f（x）的图象关于直线x=1对称；（2）f（2）=f（0）；（3）f（x）在[0，1]上是增函数；（4）f（x）在[1，2]上是减函数．

Answer 1

∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），故f（x）是以2为周期的周期函数，
又由函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-x）=f（x），
即f（x+2）=f（-x），故f（x）的图象关于直线x=1对称，故①正确；
∵偶函数f（x）在对称区间上单调性相反，且f（x）在[-1，0]上是增函数，得f（x）在[0，1]上是减函数，故②错误；
∵f（x）在[-1，0]上是增函数，且f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（x）在[1，2]上是增函数，故③错误；
∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（2）=f（0），故④正确；
故答案为：①④