Question

高数连续函数

Answer 1

连续函数 ：函数y=f(x)当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的;又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的，对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，可用极限给出严格描述:设函数y=f(x)在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

函数增量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：△x即：△x=x2-x1 增量△x可正可负。也就是说，改变量可以是正的，也可以是负的。
连续函数
如图：正方形的边长X产生一个*X的改变量，面积Y改变了多少：
边长为X时，正方形的面积为Y等于X的二次方，如果边长为X＋*X，则面积为Y＋*Y等于X＋*X的二次方，因此，面积的改变量为*Y等于X＋*X的二次方减X的二次方，或等于2X乘以*X加上*X的二次方。

法则
连续函数
定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和， 差 ，积，商(分母不为 0) 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。 定理二 连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
定理三 连续函数的复合函数是连续的。

Answer 2

f(x)在x=0点处连续，则lim(x->0)f(x)=f(0)
lim(x->0)x^a*sin(1/x)=0
因为sin(1/x)是有界量，x^a必须是无穷小量
所以a>0

Answer 3

求a的取值范围吗？

追答

a>0