Question

设a1，a2，a3，a4，a5为自然数，A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={a12，a22，a32，a42，a52}，且a1＜a2＜a3＜a

设a1，a2，a3，a4，a5为自然数，A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={a12，a22，a32，a42，a52}，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，并满足A∩B={a1，a4}，a1+a4=10，A∪B中各元素之和为256，求集合A？

Answer 1

由A∩B={a₁，a₄}，且a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅ ，所以只可能a₁=a₁²，
解得a₁=1或a₁=0．由a₁+a₄=10，可得 

a1＝1 a4＝9

，或 

a1＝0 a4＝10

．
且a₄=9=a_i²（2≤i≤3），或a₄=10=a_i²（2≤i≤3），∴只有a₂=3或a₃=3．…（2分）
①若a₃=3时，a₂=2，此时A={1，2，3，9，a₅}，B={1，4，9，81，a₅²}．
因a₅²≠a₅，故1+2+3+9+4+a₅+81+a₅²=256，从而a₅²+a₅-156=0，解得a₅=12．
所以A={1，2，3，9，12}．…（5分）
②若a₂=3时，此时A={1，3，a₃，9，a₅}，B={1，9，a₃²，81，a₅²}．
因1+3+9+a₃+a₅+81+a₃²+a₅²=256，从而a₅²+a₅+a₃²+a₃-162=0．
因为a₂＜a₃＜a₄，则3＜a₃＜9．当a₃=4、6、7、8时，a₅无整数解．
当a₃=5时，a₅=11．所以A={1，3，4，9，11}．…（8分）
综合可得，A={1，2，3，9，12}，或A={1，3，4，9，11}．