Question

已知函数f（x）=x-1-alnx．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x

已知函数f（x）=x-1-alnx．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＜0，且对任意x1，x2∈（0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|，求a的范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x-1-2lnx，f′（x）=1-

2

x

（x＞0），
因而f（1）=0，f′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-0=-（x-1），
即x+y-1=0
（Ⅱ）f′(x)＝1?

a

x

＝

x?a

x

，(x＞0)
①当a≤0时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a＜0时，f（x）在（0，1]上单调递增，且y＝

1

x

在（0，1]上递减．
不妨设0＜x₁≤x₂≤1，则|f(x1)?f(x2)|≤4|

1

x1

?

1

x2

|?f(x2)?f(x1)≤

4

x1

?

4

x2

?f(x2)+

4

x2

≤f(x1)+

4

x1

设h(x)＝f(x)+

4

x

＝x?1?alnx+

4

x

，
则|f(x1)?f(x2)|≤4|

1

x1

?

1

x2

|等价于h（x）在（0，1]上是减函数．
又h′(x)＝1?

a

x

?

4

x2

＝

x2?ax?4

x

，
所以等价于x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立
即a≥x?

4

x

在（0，1]上恒成立，
注意到x?

4

x

在（0，1]上递增，所以只需a≥(x?

4

x

)max＝?3
又a＜0，从而-3≤a＜0