Question

如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上

如图所示,已知在Rt三角形ABC中,∠C=90度,AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE垂直AE，圆O是Rt三角形ADE的外接圆，且交AC于点G
（1）求证：BC是圆O的切线
（2）若AC+CG=5,求直径AD的值

Answer 1

（1）延长DE交AC延长线于H，联接EG、OE

∵DE⊥AE

∴∠AED=90°

∴AD是圆O的直径

∴OA=OE

∴∠OAE=∠OEA

∵∠OAE=∠EAH

∴∠OEA=∠EAH

∴OE∥AH

∵AH⊥BC

∴OE⊥BC

∴BC是圆O的切线

(2)∵∠AED=∠AEH=90°

∴∠ADE+∠DAE=90°     ∠H+∠EAH=90°

∵∠DAE=∠EAH

∴∠ADE=∠H

∴AD=AH

∵A、D、E、G四点共圆

∴∠ADE=∠CGE

∴∠CGE=∠H

∴EG=EH

∵EC⊥GH

∴CG=CH

∴AH=AC+CH=AC+CG=5

∴AD=5

追问

亲，图好像不是这个。

Answer 2

1.
连接oe
∵oa=oe（半径相等）
∴∠oae=∠oea
因为∠cae=∠eao（已知）
所以∠oea=∠eac
所以oe平行于ac
所以oe垂直于bc
所以BC是圆O的切线
2.

Answer 3

解：（1）证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
则BC为圆O的切线；

（2）过E作EF⊥AB于点F，连接EG，
在△ACE和△AFE中，
∠2=∠1∠C=∠AFE=90°AE=AE，
∴△ACE≌△AFE（AAS），
∴AC=AF，CE=FE，
∵∠AED=90°，
∴AD是⊙O的直径，又点D在⊙O上，
∴四边形AGED是圆内接四边形，
又∠CGE为圆内接四边形AGED的外角，
∴∠CGE=∠EDA，
在△CEG和△FED中，
∠CGE=∠EDA∠C=∠EFD=90°CE=FE，
∴△CEG≌△FED（AAS），
∴CG=FD，又AC+CG=5，
则AD=AF+FD=AC+CG=5．

Answer 4

图呢