Question

如图，在△ABC中，MN∥AC，直线MN将△ABC分割成面积相等的两部分，将△BMN沿直线MN翻折，点B恰好落在点E

联结AE，若AE∥CN，求AE：NC的值（方法越简单越好）

Answer 1

AE/NC=GE/NG=EH/HI

又EH/HI+1=（EH+HI）/HI=EI/HI=BI/HI=1/（√2 -1）=√2 +1

所以AE/NC=√2

Answer 2

设S△ABC表示的面积
由于2=S△ABC/S△BMN=(AB/MB)^2
所以√2=AB/MB
因此AM/MB=(√2-1)/1=√2-1
又由于MN∥AC，
所以NG/NE=AM/MB=√2-1
即NE/NG=1/(√2-1)=√2+1
所以GE/NG=(NE-NG)/NG=√2
又因为AE∥CN，
所以AE：NC=GE：NG=√2

Answer 3

因为MN∥AC 所以 △BMN和△ABC高的比 H1 / H2 = MN / AC ，又因为 △BMN和△ABC高的面积比为1 /2 ，即 （1/2* MN * H1）/（1/2* SC * H2）=1/2 所以H1 / H2 = MN / AC = √2 /2
这样可以设H1=√2 a ; H2=2a ，则梯形AMNC的高为H3=H2-H1=(2-√2)a
由于 AE∥CN ，所以AE：NC =GE :GN
在三角形MNE中 GE :GN =H（△EFG）: H(MNGF）= (H1-H3) / H3 = (2√2-2) /（2-√2）=√2