Question

已知a∈R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)

（1）求函数f(x)在区间（0，e】上的最小值
（2）是否存在实数x0∈(0，e]，使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵f(x)=ax+lnx-1，（x＞0），
∴f′（x）=-ax2+1x=x-ax2
①若a≤0，则，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增
③若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减．
（2）∵g（x）=（lnx-1）ex+x
∴g′（x）=（1x+1nx-1）ex+1，由（1）易知，
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x）min=f（1）=0
即x0∈（0，+∞）时，1x0+lnx0-1≥0．又ex0＞0，
∴g′（x0）≥1＞0，
曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x0）=0有实数解．
而g′（x0）＞0，即方程g′（x0）=0无实数解，故不存在．