Question

周长相等的矩形和正方形，为什么正方形面积最大？

周长相等的长方形正方形。为什么正方形面积大？

Answer 1

圆的面积最大。

长方形的面积为：长×宽、周长为2×（长+宽）；正方形的面积为：边长的平方、周长为4×变长；圆的面积为π×半径的平方、周长为2π×半径。

如此一来。现设周长为单位1，那么长方形的话，长+宽=1/2，如果长是1/3，那么宽则是1/6，面积为1/18，而正方形的话，变长为1/4，面积为1/16。可以证明相同周长下，正方形的面积总会比长方形的面积大。

最后比较圆与正方形的面积，同样是利用单位1。圆的半径是1/（2π），那么面积是1/（4π），正方形的面积上面已算为1/16，因为知道4π小于16，作为分母，因此1/（4π）大于1/16。

简介

设长方形的长宽分别为A，B；正方形边长为C。

则A+B=2C，且A≠B。

两边同时平方得：

4CC=AA+4AB+BB-2AB。

整理得：

4CC-4AB=AA+BB-2AB=(A-B)(A-B)。

因为(A-B)(A-B)≥0。

即4CC-4AB≥0。

CC-AB≥0。

因为A≠B，则CC-AB>0。

而CC为正方形的面积，AB为长方形的面积。

因此正方形的面积大于长方形的面积。

Answer 2

具体见下图，其实用简单的数字相乘也可以得出同样的结论，比如说2x2＞1x3，15x15＞14x16等等。

Answer 3

这个其实只要记住一点就行了，就是：
当两数的和一定的情况下，两数差越小，它们的积越大。
如果一定要证明，这里引用作业帮里面的一个解答。
用平方差公式证明：

设正方形边长为m，两邻边的和为2m，正方形面积为m^2
。
变为长方形时，边长的关系为m+n和m-n
，长方形的面积为(m+n)(m-n)=m^2-n^2
。
可见，长方形的面积总是比正方形面积小n^2
。
所以，在周长一定的情况下，正方形面积最大。

Answer 4

一个四边形，如果长与宽的数字相差越大，这个四边形的面积就越小，如果长与宽的数字相差越小，这个四边形的面积就越大，由于正方形的边长一样大，所以周长相等的四边图形正方形的面积是最大的，因为我曾经计算过，所以我了解，希望你喜欢。

Answer 5

设矩形长为a,宽为b,则它的面积为ab.
正方形的周长与上述矩形相等，则边长为(a+b)/2,其面积为[(a+b)/2]^2,
[(a+b)/2]^2-ab=(a-b)^2/4≥0,
当且仅当a=b时取等号，
所以周长相等的长方形中，正方形的面积最大。