Question

已知实数x,y满足y=√（1-x^2），求

已知实数x,y满足y=√（1-x^2），求 （1）y/x+2的最大值 （2）y-x的取值范围 （3）（x+1）^2+（y+1）^2的最大值

Answer 1

解：本题是典型的数形结合法。
（1）y/(x+2)即为x^2+y^2=1的上半圆上一点与点(-2,0)的连线的斜率，显然当斜切时斜率最大，由于1/2=sin(30°)，故y/(x+2)的最大值为tan(30°)=√3/3
（2）考虑y-x=k的直线簇，与上半圆有交点的所有k的取值范围即可。显然y-x=k与上半圆相切时对应的k值最大，交于点（1,0）时对应的k值最小。易得1≤k=y-x≤√2
（3））（x+1）^2+（y+1）^2表示上半圆上的点与点（-1，-1）相连所得线段的距离。
①可用三角代换法，取x=cosa,y=sina,0≤a≤π。则(x+1)^2+(y+1)^2=(cosa+1)^2+(sina+1)^2
=2+2(cosa+sina)=2+2√2sin(a+45°)≤2+2√2，当且仅当a=45°时取最大值2+2√2。
②也可以求圆(x+1)^2+(y+1)^2=R^2与圆x^2+y^2=1相切时的R。二个式子展开相减得到
2x+2y=R^2-2将y解出代入圆方程x^2+y^2=1中得到一个一元二次方程，令判别式△=0求出正根R即为所求。

Answer 2

这是一个半圆！两边平方就行！要注意定义域哦哦哦！