Question

已知函数f（x）=lnx-x-lna，g（x）=1/2x²-（a-1）x ①求函数h（x）=f（x）+g（x)的单调区间

已知函数f（x）=lnx-x-lna，g（x）=1/2x²-（a-1）x
①求函数h（x）=f（x）+g（x)的单调区间
②若函数f(x)有两个零点x1 x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围并证明x1+x2随a的增大而减小

Answer 1

f(x)的图像在(1,f(1))处切线好求如下

求f(x)在x=1处的切线斜率

f'(x)=1/x

f'(1)=1

f(x)的图像在(1，f(1))处切线方程

f(1)=ln1=0

k=1

y=x-1

g(x)的切线斜率k=1的点不一定在x=1处

若在x=1处则f(x)与g(x)直接相切

所以先求g’(x)=1时x值

再将该点的x,y值代入切线方程中解得所求

如下：

g'(x)=x-b

令g'(x)=f'(1)

x-b=1

x=b+1

g(x)在x=b+1处的切线方程为y=x-1

代入(b+1,g(b+1))

(b+1)²/2-b(b+1)=(b+1)-1

(b+1)²-2b(b+1)=2b

b²+2b+1-2b²-2b=2b

b²+2b-1=0

b=-1±√2

(2)h(x)=lnx+1/2x^2-bx,
h'(x)=1/x+x-b=(x^2-bx+1)/x,(x>0)
在X>0上存在单调减区间,即有在X>0上存在有h'(x)<0.
即设w(x)=x^2-bx+1<0
b>x+1/x>=2
即有范围是b>2.