Question

一道初三数学题（二次函数）

已知矩形的周长为36厘米，矩形绕他的一边旋转，形成一个圆柱，矩形的长宽各为多少时，旋转形成圆柱的侧面积最大
设一边为X厘米，另一边为（18—X）厘米，绕边（18—X）旋转

Answer 1

令：矩形的长是a，宽各为b.
∴2（a+b)=36==>a+b=18
旋转形成的圆柱侧面积是：2πa*b。

要求侧面积最大，即求a*b的最大值。（2π是常数）

a*b=a*(18-a)=18a-a^2
==>-(a^2-18a+81)+81
==>-(a-9)^2+81
当a=9时a*b有最大值81
∴b=9
即：矩形的长，宽都为9时，旋转形成的圆柱侧面积最大

Answer 2

假定矩形边长分别为A B
可知 A+B==18
假定矩形绕他的一边A旋转，形成一个圆柱，旋转形成圆柱的侧面积为 2*PAI*A*B

问题变成A+B==18时 A*B最大时，A和B为多少
18A-A^2的最大值。就是A=B=9时
也就是矩形长宽均为9时，旋转形成圆柱的侧面积面积最大

追问

设一边为X厘米，另一边为（18—X）厘米，绕边（18—X）旋转

Answer 3

侧面积即侧高*底面积的周长
底面半径为矩形的一边设为x 底面积的周长为2xπ
侧高即矩形一边设为36/2-x=18-x
侧面积=（18-x）*2xπ=-2πx²+36πx=-2π｛（x-9）²-81｝【配方】
即当x=9时最大为162π

Answer 4

解：设宽xcm 则长为（18-x）cm
∴S=2πx（18-x）=-2πx²+36πx
当x=9时。 即宽 长 为9cm时。

追问

把这个S=2πx（18-x），化为顶点式，是什么

追答

解：=-2π（x-9)²+162π

Answer 5

设长为x 宽为y，由已知得x+y=18
圆柱体的侧面积S=2πxy=2πx(18-x)
二次函数求最大值，当x=9时，s最大为162π