Question

如图1、2，已知抛物线y=ax 2 +bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A． （1）求此抛物线的解析式

如图1、2，已知抛物线y=ax 2 +bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A． （1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，若M（0，1），过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF ∥ HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）如图2，抛物线顶点为K，KI⊥x轴于I点，一块三角板直角顶点P在线段KI上滑动，且一直角边过A点，另一直角边与x轴交于Q（m，0），请求出实数m的变化范围，并说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax 2 +bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0）， ∴ a-b+3=0 9a+3b+3=0 ， 解得 a=-1 b=2 ． ∴抛物线的解析式为y=-x 2 +2x+3． （2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′H’交x轴于点P． ∵点M的坐标为（0，1），点A是抛物线与y轴的交点， ∴点A的坐标为（0，3）． ∵OA=3，OD=4， ∴AD=5． ∵E′H′ ∥ OM，E′H′=OM=1， ∴四边形E′H′OM是平行四边形（当E′H′不与y轴重合时）． ∵F′N ∥ y轴，NG′ ∥ x轴， ∴△F′ND ∽ △AOD． ∴ F′N AO = ND OD = F′D AD ． ∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射线DA方向平移得到的， ∴F′D=t， ∴ F′N 3 = ND 4 = t 5 ． ∴ F′N= 3t 5 ，ND= 4t 5 ． ∵E′F′=PN=1， ∴OP=OD-PN-ND=4-1- 4t 5 =3- 4t 5 ． ∵E′P= F′N= 3t 5 ，E′H′=1， ∴H′P= 3t 5 -1． 若平行四边形E′H′OM是矩形，则∠MOH′=90°，此时H′G′与x轴重合． ∵F′D=t， ∴ F′N= 3t 5 =1 ，即 t= 5 3 ． 即当 t= 5 3 秒时，平行四边形EHOM是矩形． 若平行四边形E′H′OM是菱形，则OH′=1． 在Rt△H′OP中，OP 2 +H′P 2 =OH′ 2 ，即 (3- 4t 5 ) 2 +( 3t 5 -1 ) 2 = 1 2 得t 2 -6t+9=0，解得t 1 =t 2 =3． 即当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形． 综上所述，当 t= 5 3 秒时，平行四边形EHOM是矩形，当t=3秒时，平行四边形EHOM是菱形． （3）过A作AR⊥KI于R点，则AR=KR=1． 当Q在KI左侧时，△ARP ∽ △PIQ． 设PI=n，则RP=3-n， ∴ 1-m 3-n = n 1 ，即n 2 -3n-m+1=0， ∵关于n的方程有解，△=（-3） 2 -4（-m+1）≥0， 得m≥ - 5 4 ； 当Q在KI右侧时， Rt△APQ中，AR=RK=1，∠AKI=45°可得OQ=5．即P为点K时， ∴m≤5． 综上所述，m的变化范围为： - 5 4 ≤m≤5．