Question

已知公差不为0的等差数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S 5 =3a 5 -2，又a 1 ，a 2 ，a 5 依次成等比数列

已知公差不为0的等差数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S 5 =3a 5 -2，又a 1 ，a 2 ，a 5 依次成等比数列，数列{b n }满足b 1 =-9， b n+1 = b n + k 2 a n +1 2 ，（n∈N + ）其中k为大于0的常数．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记数列a n +b n 的前n项和为T n ，若当且仅当n=3时，T n 取得最小值，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）设等差数列{a n }的公差为d，则S 5 =5a 1 +10d ∵S 5 =3a 5 -2=3（a 1 +4d）-2=3a 1 +12d-2 ∴5a 1 +10d=3a 1 +12d-2 ∴a 1 =d-1 ∵a 1 ，a 2 ，a 5 依次成等比数列 ∴a 2 2 =a 1 a 5 即（a 1 +d） 2 =a 1 （a 1 +4d） 化简得：d=2a 1 ∴a 1 =1，d=2 ∴a n =a 1 +（n-1）d=2n-1 ∴ b n+1 = b n + k 2 a n +1 2 = b n + k 2 n ∴ b n+1 - b n = k 2 n 当n≥2时， b n - b n-1 = k 2 n-1 b n-1 - b n-2 = k 2 n-2 b 2 - b 1 = k 2 ∴ b n - b 1 = k 2 n-1 + k 2 n-2 + k 2 =k×( 2 n-1 -1 2-1 × 1 2 n-1 )=k× 2 n-1 -1 2 n-1 =k- 2k 2 n-1 ∴ b n =-9+k- 2k 2 n-1 当n=1时，b 1 =9满足上式 ∴ b n =-9+k- 2k 2 n-1 (n∈ N * ) （2）∵a n =2n-1， b n =-9+k- k 2 n-1 (n∈ N * ) ∴ ( a n+1 + b n+1 )-( a n + b n )=2+ k 2 n ＞0 ∴数列a n +b n 是递增数列 ∵当n=3时，T n 取得最小值 ∴ a 3 + b 3 =5+(k-9- k 4 )= 3k 4 -4＜0 a 4 + b 4 =7+(k-9- k 8 )= 7k 8 -2＞0 解得 16 7 ＜k＜ 16 3 ．