Question

已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1

已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE，（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-B的大小.

Answer 1

解：如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x，y、z轴， 建立空间直角坐标系， 则 ， 又DE=2PE， ∴ ， （1） ， ∴ ， ∴异面直线PA与CD所成的角为60°。 （2） ， ∴ ， ， ∴ ， 又PD∩PC=P， ∴BE⊥平面PCD。 （3）设平面PAD的一个法向量为 ， 则由 ，得 ， 令z=1，则 ， 又 ，设平面PBD的法向量为 ， 则由 ，得 ， 令 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 又二面角A-PD-B为锐二面角， 故二面角A-PD-B的大小为60°。