Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F，求证：2AC2=EF?EB．

Answer 1

证明：∵DE为⊙O的切线，
∴DE²=EC?EB，
∵AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，AD=EC，
∴AC²=EC?EB，
又∵OD⊥DE，AC∥DE，
∴FG⊥AC，且AG=CG，
∵AD∥BE，
∴∠ACB=∠CAD，
在△AGD和△CGF中，

∠GAD＝∠GCF AG＝CG ∠AGD＝∠CGF

∴△AGD≌△CGF（ASA）
∴AD=FC，
∴EC=FC，
∵AC²=EC?EB，
AC²=FC?EB，
∴2AC²=（EC+FC）?EB，
∴2AC²=EF?EB．