Question

已知P是抛物线y2=2x上的点，点M（m，0），试求点P与点M的距离的最小值（其中m∈R）

已知P是抛物线y2=2x上的点，点M（m，0），试求点P与点M的距离的最小值（其中m∈R）．

Answer 1

设P点坐标为（x₀，y₀），
则d＝|PM|＝

(x0?m)2+(y0?0)2

=

x02+y02?2mx0+m2

=

x02+(2?2m)x0+m2

(x0≥0)
令t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）则其对称轴为x₀=m-1
（1）当m-1＜0即m＜1时
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²在x₀≥0时为增函数，
所以dmin＝

t|x0＝0

＝|m|＝m
（2）当m-1≥0即m≥1时，
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）在（0，m-1）上递减，在（m-1，+∞）上递增，
所以：dmin＝

t|xo＝m?1

＝

2m?1

综上所述，当m＜1，点P与点M的距离的最小值为m；
          当m≥1，点P与点M的距离的最小值为