Question

已知数列{an}满足an+1=1+an3?an（n∈N*），且a1=0．（1）求a2，a3的值；（2）是否存在一个实常数λ，使得

已知数列{an}满足an+1=1+an3?an（n∈N*），且a1=0．（1）求a2，a3的值；（2）是否存在一个实常数λ，使得数列{1an?λ}为等差数列，请说明理由．

Answer 1

解答：解 （1）a2＝

1

3

，a3＝

1

2

…（4分）
（2）假设存在一个实常数λ，使得数列{

1

an?λ

}为等差数列，则

1

a1?λ

，

1

a2?λ

，

1

a3?λ

成等差数列，所以

2

a2?λ

＝

1

a1?λ

+

1

a3?λ

，…（6分）
所以

2

1 3 ?λ

＝

1

0?λ

+

1

1 2 ?λ

，解之得λ=1．…（8分）
因为

1

an+1?1

?

1

an?1

＝

1

1+an 3?an ?1

?

1

an?1

＝

3?an

2(an?1)

?

1

an?1

＝

1?an

2(an?1)

＝?

1

2

…（11分）
又

1

a1?1

＝?1，所以存在一个实常数λ=1，使得数列{

1

an?λ

}是首项为-1，
公差为?

1

2

的等差数列．…（12分）