Question

定积分的应用问题

有图的另外加分至上限
1.计算由曲线y=lnx及直线x=0,y=lna,y=lnb(0<a<b)为围成的图形的面积
2.求抛物线y= -x^2+4x-3及其在点（0，-3）和（3.0）处的切线所围成的图形的面积。
3.求位于曲线有y=e^x下方，该曲线过原点的切线的左方以及y轴之间的图形的面积。
4.把抛物线y^2=4ax及直线x=x0(x0>0）所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转体的体积。
5.已知曲线三角形由抛物线y^2=2x及直线x=0，y=1所围成。求
（1）曲线三角形面积
（2）该曲边三角形绕y=0旋转所成旋转体的体积。
6.求由曲线y=e^-x与直线x=0,x=1,y=0所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积。
答案（便于你演算）： 1.b-a 2.9/4 3.e/2-1 4.2派ax0^2 5.1/6,派/4 6.2派（1-2e^-1）
步骤写清晰一点 最好能有图 有图的分追满

Answer 1

1、S=∫[lna,lnb] e^ydy=e^y[[lna,lnb]=e^(lnb)-e^(lna)=b-a.
2、y’=-2x+4,
x=0时，y’=4,切线方程为：(y+3)/x=4,
y=4x-3,
x=3时，y’=-2, 切线方程为:y/(x-3)=-2,y=-2x+6,
二切线交点为：（3/2，3），
S1=∫[0,3/2](4x-3-(-x^2+4x-3))dx=∫[0,3/2]x^2dx=x^3/3[0,3/2]=9/8,
S2=∫[3/2,3][(-2x+6)-( -x^2+4x-3)]dx=∫[3/2,3](x^2-6x+9)dx
=(x^3/3-3x^2+9x)[3/2,3]
=9-27+27-(9/8-27/4+27/2)=9/8,
S=S1+S2=9/8+9/8=9/4.
3、切线有二条，取第一象限，y’=e^x,设切点为（x0,y0）,切线方程y/x=e^x0,
e^x0/x0=e^x0,x0=1,y0=e,切线方程：y=ex,
S=∫[0,1](e^x-ex)dx
=(e^x-ex^2/2)[0,1]=e-e/2-(1-0)=e/2-1.
4、V=∫πy^2dx=π∫[0,x0](4ax)dx
=4πax^2/2[0,x0]= 2πax0^2.
5、(1)S=(1/2)∫[0,1]y^2dy=y^3/6[0,1]=1/6.
(2)V=π∫[0,1/2]y^2dx=π∫[0,1/2]2xdx=πx^2[0,1/2]= π/4.
6、x=-lny,
V1= π*1^2*1/e =π/e,
V2=π∫[1/e,1]x^2dy=∫[1/e,1](-lny)^2dy
=π[y(lny)^2-2ylny+2y][1/e,1]
=(2π-4π/e,)
对∫（lny)^2dy要用到两次分部积分，
V=π/e+2π-4π/e=2π-3π/e.
若是y=0，则应该是2π-3π/e，因为还有一部分是圆柱体积，其半径为1，高是1/e,
若y=1,则V=2π-4π/e，请对一下题目。

Answer 2

这是第一题，看得明白的话我再发后面的解答 

图画成y=e^x的了，不过不影响最终结论

Answer 3

题太多

追问

不过差不多一个题40分

Answer 4

麻烦楼主追问一下我..我不会添加多张图片..要追问一次才能发多一张图片

追问

123213

追答

求体积的图不会画..sorry啊

追问

第5个求体积 不是围绕y轴旋转吗 应该用x^2dy那个公式啊

追答

注意题目..那个是y=0.也就是x轴！