Question

已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=1,BC=2,CD=3,DA=4

求四边形ABCD外接圆的半径

Answer 1

已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=1,BC=2,CD=3,DA=4，求四边形ABCD外接圆的半径
解：连接对角线BD，并设∠A=φ，则其对角C=180°-φ；由余弦定理：
BD²=AB²+AD²-2AB×ADcosφ=CB²+CD²-2CB×CDcos(180°-φ)，代入有关数字得：
1+16-8cosφ=4+9+12cosφ；故得cosφ=4/20=1/5，于是sinφ=(√24)/5.
∴BD=√(17-8/5)=√(77/5)
由正弦定理得2R=BD/sinφ=[√(77/5)]/[(√24)/5]=.√(385/24)=(1/2)√(385/6)
即该四边形的外接圆半径R=(1/4)√(385/6)≈2.0026
因为是圆的内接四边形，故该四边形的形状是确定的，唯一的。可用R=2作圆，然后按所给边
长作内接四边形，最后AD正好等于4，这就证明了计算结果的正确性。

Answer 2

余弦定理：三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边
则cosA=(b²+c²-a²)/2bc
或cosB=(a²+c²-b²)/2ac
或cosC=(a²+b²-c²)/2ab

正弦定理：三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边
则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是△ABC外接圆半径）

解：一个四边形只知道四边长，是不固定的。但当他是圆内接四边形时，形状就固定了。因为圆内接四边形对角互补。
即 ∠B+∠D=180°，或∠A+∠C=180°
所以 cosB+cosD=0，或cosA+cosC=0

连接AC，设AC=x
△ABC中，cosB=(1²+2²-x²)/(2×1×2)=(5-x²)/4
△ADC中，cosD=(3²+4²-x²)/(2×3×4)=(25-x²)/24
(5-x²)/4+(25-x²)/24=0
30-6x²+25-x²=0
x²=55/7
x=(√385)/7（负值已舍）

所以cosB=(5-x²)/4=-5/7
因为 sin²B+cos²B=1
所以 sinB=(2√6)/7

四边形ABCD的外接圆 即△ABC的外接圆
所以 △ABC中，2R=AC/sinB=【(√385)/7】/【(2√6)/7】=(√2310)/12
所以 R=(√2310)/24

所以四边形ABCD的外接圆的半径 (√2310)/24

Answer 3

因为四边形具有不稳定性，
所以四边形ABCD外接圆不确定，
所以此题无解