Question

如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点

如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

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Answer 1

（1）证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF= AC。 同理FG= BD，GH= AC，HE= BD。 ∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。 ∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。 设AC与EH交于点M， 在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。 又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。 ∴四边形EFGH是正方形。 （2）解：连接EG。 在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点， ∴ 。 在Rt△EHG中，∵EH 2 +GH 2 =EG 2 ，EH=GH， ∴ ，即四边形EFGH的面积为 。

三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。 （1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。 （2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出  ，也即得出了正方形EHGF的面积。