Question

如图，已知抛物线y=x 2 +4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1

如图，已知抛物线y=x 2 +4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①对称轴x=- 4 2 =-2； ②当y=0时，有x 2 +4x+3=0， 解之，得x 1 =-1，x 2 =-3， ∴点A的坐标为（-3，0）． （2）满足条件的点P有3个，分别为（-2，3），（2，3），（-4，-3）． （3）存在． 当x=0时，y=x 2 +4x+3=3 ∴点C的坐标为（0，3）， ∵DE ∥ y轴，AO=3，EO=2，AE=1，CO=3， ∴△AED ∽ △AOC ∴ AE AO = DE CO 即 1 3 = DE 3 ， ∴DE=1． ∴S 梯形DEOC = 1 2 （1+3）×2=4， 在OE上找点F，使OF= 4 3 ， 此时S △COF = 1 2 × 4 3 ×3=2，直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M． 设直线CM的解析式为y=kx+3，它经过点F（- 4 3 ，0）． 则- 4 3 k+3=0，（11分） 解之，得k= 9 4 ， ∴直线CM的解析式为y= 9 4 x+3．