Question

已知函数f（x）=xe x ．（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）是否存在实数a使得对于任意的x 1 ，x 2 ∈

已知函数f（x）=xe x ．（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）是否存在实数a使得对于任意的x 1 ，x 2 ∈（a，+∞），且x 1 ＜x 2 ，恒有 f( x 2 )-f(a) x 2 -a ＞ f( x 1 ) -f(a) x 1 -a 成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）由f′（x）=e（x+1）=0，得x=-1； 当变化时的变化情况如下表：可知f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），递增区间为（-1，+∞）， f（x）有极小值为f（-1）=- 1 e ，但没有极大值． （II）令g（x）=[f（x）-f（a）]/（x-a）=（xe x -ae a ）/（x-a），x＞a， 则[f（x 2 ）-f（a）]/（x 2 -a）＞[f（x 1 ）-f（a）]/（x 1 -a）恒成立， 即g（x）在（a，+∞）内单调递增这只需g′（x）＞0．而g′（x）=[e x （x 2 -ax-a）+ae a ]/（x-a） 2 记h（x）=e x （x 2 -ax-a）+ae a ， 则h′（x）=e x [x 2 +（2-a）x-2a]=e x （x+2）（x-a） 故当a≥-2，且x＞a时，h′（x）＞0，h（x）在[a，+∞）上单调递增． 故h（x）＞h（a）=0，从而g′（x）＞0，不等式（*）恒成立 另一方面，当a＜-2，且a＜x＜-2时，h′（x）＜0，h（x）在[a，-2]上单调递减又h（a）=0，所以h（x）＜0， 即g′（x）＜0，g′（x）在（a，-2）上单调递减． 从而存在x 1 x 2 ，a＜x 1 ＜x 2 ＜-2，使得g（x 2 ）＜g（x 1 ） ∴a存在，其取值范围为[-2，+∞）