Question

是否存在常数a、b、c使等式1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 +（n-1） 2 +…+2 2 +1 2 =an（bn 2 +c）对于一切n∈N

是否存在常数a、b、c使等式1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 +（n-1） 2 +…+2 2 +1 2 =an（bn 2 +c）对于一切n∈N * 都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.

Answer 1

假设存在a、b、c使 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 +（n-1） 2 +…+2 2 +1 2 =an（bn 2 +c） 对于一切n∈N * 都成立. 当n=1时，a（b+c）=1； 当n=2时，2a（4b+c）=6； 当n=3时，3a（9b+c）=19. 解方程组  解得 证明如下： ①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立. ②假设n=k（k∈N * ）时等式成立， 即1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +（k-1） 2 +…+2 2 +1 2 = k（2k 2 +1）； 当n=k+1时， 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +（k+1） 2 +k 2 +（k-1） 2 +…+2 2 +1 2 = k（2k 2 +1）+（k+1） 2 +k 2 = k（2k 2 +3k+1）+（k+1） 2 = k（2k+1）（k+1）+（k+1） 2 = （k+1）（2k 2 +4k+3） = （k+1）［2（k+1） 2 +1］. 即n=k+1时，等式成立. 因此存在a= ，b=2，c=1，使等式对一切n∈N * 都成立.