Question

（2012?高邮市二模）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，若CD=5，则四边形ABCD的面积

（2012?高邮市二模）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，若CD=5，则四边形ABCD的面积为______．

Answer 1

作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∵

∠DAE＝∠BAC ∠E＝∠ACB＝90° AB＝AD

，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF²+DF²=CD²，
即（3a）²+（4a）²=5²，
解得：a=1，
∴S_{四边形ABCD}=S_梯形ACDE=

1

2

×（DE+AC）×DF
=

1

2

×（a+4a）×4a
=10a²
=10．
故答案为：10．