Question

设f（x）在[a，b]上连续，且恒为正，证明对于任意的x1，x2∈（a，b），x1＜x2，必存在一点ξ∈[x1，x2]，

设f（x）在[a，b]上连续，且恒为正，证明对于任意的x1，x2∈（a，b），x1＜x2，必存在一点ξ∈[x1，x2]，使f（ξ）=f(x1)f(x2)．

Answer 1

令F（x）=f²（x）-f（x₁）f（x₂），x∈[x₁，x₂]，则F（x）在[x₁，x₂]上连续．
计算可得，F（x₁）F（x₂）=-f（x₁）f（x₂）（f（x₁）-f（x₂））²．
（1）如果f（x₁）=f（x₂），则取ξ=x₁ 或x₂ 即可．
（2）如果f（x₁）≠f（x₂），又因为f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，故F（x₁）F（x₂）＜0．
从而由零点存在定理可得，?ξ∈[x₁，x₂]，使得F（ξ）=0，
即：f（ξ）=

f(x1)f(x2)

．